全局优化算法:模拟退火算法

3/3/2017来源:C/C++教程人气:1434

序言

前面讨论过一些迭代算法,包括牛顿法、梯度方法、共轭梯度方法和拟牛顿法,能够从初始点出发,产生一个迭代序列。很多时候,迭代序列只能收敛到局部极小点。因此,为了保证算法收敛到全局最小点,有时需要在全局极小点附近选择初始点。此外,这些方法需要计算目标函数。

全局优化算法又称现代启发式算法,是一种具有全局优化性能、通用性强且适合于并行处理的算法。 这种算法一般具有严密的理论依据,而不是单纯凭借专家经验,理论上可以在一定的时间内找到最优解或近似最优解。 遗传算法属于智能优化算法之一。

常用的全局优化算法有: 遗传算法 、模拟退火算法、禁忌搜索算法、粒子群算法、蚁群算法。

1、随机搜索算法

模拟退火算法是一种随机搜索算法,随机搜索方法也称作概率搜索算法,这很好理解,是一种能够在优化问题的可行集中随机采样,逐步完成搜索的算法。German首次将模拟退火算法应用在凸显处理领域。论文地址后续有时间我可以是这翻译一下。

朴素随机搜索算法步骤:

1)令K:=0,选定初始点x(0)∈Ω 2)从N(x(k))中随机选定一个备选点z(k) 3)如果f(z(k))<f(x(k)),则令x(k+1)=z(k),否则x(k+1)=x(k)。 4)如果满足停止条件,则停止迭代 5)令k=k+1,回到第2步

算法分析:朴素随机搜索算法面临的问题在于领域N(x(k))的设计,一方面要保证领域足够大,否则算法可能会在局部点”卡住”;但如果使领域太大的话,会使得搜索过程变得很慢。另一种,对领域问题的解决方案是对朴素随机搜索算法进行修改,使其能够”爬出”局部极小点的”领域”。这意味着两次迭代中,算法产生的新点可能会比当前点要差。模拟退火算法就设计了这样的机制。

2、模拟退火算法

算法步骤

1)令K:=0,选定初始点x(0)∈Ω 2)从N(x(k))中随机选定一个备选点z(k) 3)设计一枚特殊的硬币,使其在一次抛投过程中出现正面的概率为P(k,f(z(k)),f(x(k)))。抛一次硬币,如果出现正面,则令x(k+1)=z(k),否则x(k+1)=x(k)。 4)如果满足停止条件,则停止迭代 5)令k=k+1,回到第2步 注:其中所说的”抛硬币”实际可理解成一种随机决策。

算法进行中,第k次迭代,可以追踪到目前最好的点x(k)best,即能够对所有的i∈{0,⋯,k},都有f(x(j))⩽f(x(i))成立的x(j)

x(k)best按照以下方式进行更新

这里写图片描述

通过持续追踪并更新当前为止最好的点,可以将模拟退火算法简单视为一个搜索过程,搜索过程的最终目的是出处当前为止最好的点。这种说法适合绝大部分启发式算法。

3、模拟退火算法与朴素随机搜索算法的区别

模拟退火算法与朴素随机搜索算法区别在于步骤3,该步骤中,模拟退火算法以一定的概率选择备选点作为下一次迭代点,即使这个备选点比当前的迭代点要差。这一概率被称作接受概率,接受概率要合理设定,才能保证迭代过程正确进行 P(k,f(z(k)),f(x(k)))=min(1,exp(−f(x(k))+f(z(k))Tk)) Tk称为冷却温度

从上式我们至少可以推出,如果f(z(k))⩽f(x(k)),则p=1,即x(k+1)=z(k)。 如果f(z(k))>f(x(k)),则仍有一定概率使得x(k+1)=z(k),这一概率为,exp(−f(x(k))+f(z(k))Tk)

f(z(k))与f(x(k))之间差异越大,采用z(k)作为下一迭代点的概率就越小。类似的,Tk越小,采用z(k)作为下一迭代点的概率就越小。通常的做法是令温度Tk递减到0(表示冷却过程)。也就是说,随着迭代次数的增加,算法趋于更差点的概率越来越小。

对于温度参数的研究,可以参考论文

4、 模拟退火算法伪代码

/* * J(y):在状态y时的评价函数值 * Y(i):表示当前状态 * Y(i+1):表示新的状态 * r: 用于控制降温的快慢 * T: 系统的温度,系统初始应该要处于一个高温的状态 * T_min :温度的下限,若温度T达到T_min,则停止搜索 */ while( T > T_min ) {   dE = J( Y(i+1) ) - J( Y(i) ) ;   if ( dE >=0 ) //表达移动后得到更优解,则总是接受移动 Y(i+1) = Y(i) ; //接受从Y(i)到Y(i+1)的移动   else   { // 函数exp( dE/T )的取值范围是(0,1) ,dE/T越大,则exp( dE/T )也 if ( exp( dE/T ) > random( 0 , 1 ) ) Y(i+1) = Y(i) ; //接受从Y(i)到Y(i+1)的移动   }   T = r * T ; //降温退火 ,0<r<1 。r越大,降温越慢;r越小,降温越快   /*   * 若r过大,则搜索到全局最优解的可能会较高,但搜索的过程也就较长。若r过小,则搜索的过程会很快,但最终可能会达到一个局部最优值   */   i ++ ; }

参考链接: [1].An introduction to optimization-最优化导论[J]. Edwin K.P.Chong. [2].http://www.cnblogs.com/heaad/archive/2010/12/20/1911614.html