TSP递归程序的优化

1/5/2008来源:Java教程人气:4400


  程序设计中,有一种非凡的程序??递归程序,递归程序是直接调用自己或通过一系列的过程间接调用自己的程序。递归程序在程序设计中经常出现,因此应该学会使用递归程序求解问题,但递归程序运行的效率一般都比较低,因此应对递归程序进行优化。

  下面结合旅行家问题谈谈递归的优化。

  一.递归程序的实现

  旅行家问题如下:旅行家要旅行N个城市,要求各个城市经历且仅经历一次,并要求所走的路程最短。该问题又称为货郎担问题、邮递员问题、售货员问题,是有名的N?P难题之一。在N很大时,并不采用本文所用的递归遍历方法,而是采用其他方法,如神经网络、遗传算法等,得到问题的解。

  要得到N个城市依次经历的最短路径,应把各个对N个城市的经历所经过的路程相比较,选出其中的最小值作为返回结果。

  用递归程序解决旅行家问题时,思路与循环方法一样:找出各种可能的经历顺序,比较在各个顺序下所走的路程,从中找出最短路程所对应的经历顺序。该问题中如何通过递归得到对所有可能路径的经历应作为重点,而对路程的计算、比较、更新与循环方法类似。在该问题的递归调用中,第n对第n-1层传递过来的已经经历的城市进行判定,以决定是否已经遍历,假如N个城市已经遍历,则计算、比较、更新路程,然后向上一层返回;假如没有遍历,则选择一个未经历的城市加入已经历的城市并一同传递给第n+1层。在这里,第n层调用传入的参数可以看成已经经历的城市和已确定的最短路程,返回的结果可以看成经更新的最短路程与经历顺序。

 在java中定义一个类

  ClassCities

  {
  
  PRivateint[][]cities;//各城市表示为(X,Y)X,Y为0到99之间的值
  
  privateint[]shortestPath;//保存最短路程对应的经历顺序
  
  privateintnum;//保存N(城市个数)
  
  privatelongshortestLength=100000000;//N个城市遍历时可能最大路程
  
  privatelonggetLength(int[]tPath){...}//计算以tPath为经历顺序的路程
  
  publicCities(intn)//构造n个城市的坐标,假设为0到99之间的随机数
  
  {
  
  ...
  
  }
  
  publicint[]getShortestPath()//获得最短路径
  
  {
  
  int[]tempPath=newint[num];
  
  shortestPath=newint[num];
  
  int[]citiesToured=newint[num];//保存第I个城市是否已经经历
  
  intcitiesNum=0;//已经经历城市的个数
  
  for(inti=0;i<num;i++)
  
  citiesToured[i]=0;
  
  goThrough(tempPath,citiesNum,citiesToured);//遍历各城市
  
  for(inti=0;i<num;i++)
  
  tempPath[i]=shortestPath[i];//得到遍历顺序
  
  returntempPath;//返回结果
  
  }
  
  privatevoidgoThrough(int[]tPath,intcNum,int[]cToured)//遍历N个城市
  
  {
  
  if(cNum==0)//无经历城市时,选择第1个城市
  
  {
  
  cNum++;
  
  tPath[0]=0;

  cToured[0]=1;
  
  goThrough(tPath,cNum,cToured);
  
  }
  
  elseif(cNum==num)//各个城市已经经历,结束
  
  {
  
  longtempLength=getLength(tPath);//计算此经历顺序所走的路程
  
  if(tempLength<shortestLength)//比较路程
  
  {
  
  shortestLength=tempLength;//更新最短路程及其经历顺序
  
  for(inti=0;i<num;i++)
  
  shortestPath[i]=tPath[i];
  
  }
  
  }
  
  else
    
  {

 for(inti=0;i<num;i++)
  
  if(cToured[i]!=1)//选择未经历的城市
  
  {
  
  cToured[i]=1;//加入已经历城市
  
  tPath[cNum]=i;
  
  cNum++;//已经历城市个数+1
  
  goThrough(tPath,cNum,cToured);//调用下一层
  
  cToured[i]=0;//恢复本层的状态:
  
  cNum--;//已经历城市及个数
  
  }//Endifinfor(i)
  
  }//Endelse
  
  }
  
  
  
  privatelonggetLength(int[]tPath)//以指定顺序计算遍历路程
  
  {
  
  longlength=0;//路程
  
  intnowPoint=0;//当前城市,第一次取0
  
  for(inti=1;i<num;i++)
  
  {
  
  intj=tPath[i];
  
  length+=(long)Math.sqrt((cities[j][0]-cities[nowPoint][0])*(cities[j][0]-cities[nowPoint][0])+(cities[j][1]-cities[nowPoint][1])*(cities[j][1]-cities[nowPoint][1]));//加上当前、下一城市间的距离
  
  nowPoint=j;//更新当前城市
  
  }
  
  length+=(long)Math.sqrt((cities[0][0]-cities[nowPoint][0])*(cities[0][0]-cities[nowPoint][0])+(cities[0][1]-cities[nowPoint][1])*(cities[0][1]-cities[nowPoint][1]));//加上首尾城市间的距离
  
  returnlength;

  }
  
  }//Cities类定义结束
  
  在这里使用递归,实现了对N可变时问题的求解。
  
  三.递归程序的优化

  递归程序的优化是程序优化的一种,具有程序优化的一般性,同时更应考虑它的非凡性。递归程序优化中应主要着眼尽快结束递归,避免无谓的调用,因为结束得越早,程序所付出的代价就越小。
  
  在旅行家问题中,对城市的遍历goThrough函数是递归程序,下面讨论对它的优化。
  
  Ⅰ.该问题的第一次优化:各个城市之间的距离在Cities类构造时就已经确定,而每一次遍历各个城市后,getLength函数都要计算一次相邻两城市及首尾城市间的距离,显然城市间距离的计算只要进行一次就可以了。因此可以定义一个函数InitDistance,在构造函数Cities()中调用,并重新定义getLength函数,直接对相邻及首尾城市的距离取和。如下:
  
  1.类中增加属性privatelong[]distance;//在InitDistance方法中构造
  
  2.定义私有方法privatevoidInitDistance()//计算各个城市之间的距离(由于仅计算一次,故未优化)
  
  privatevoidInitDistance()
  
  {
  
  distance=newlong[num][num];
  
  for(inti=0;i<num;i++)
  
  for(intj=0;j<num;j++)
  
  {
  
  if(i==j)
  
  distance[i][j]=0L;
  
  else
  
  distance[i][j]=(long)Math.sqrt(
  
  (cities[i][0]-cities[j][0])*(cities[i][0]-cities[j][0])+(cities[i][1]-cities[j][1])*(cities[i][1]-cities[j][1]));
  
  }
  
  }
  
  3.重新定义getLength
  
  privatelonggetLength(int[]tPath)
  
  {
  
  longlength=0L;
  
  for(inti=1;i<num;i++)
  
  length+=distance[tPath[i-1]][tPath[i]];
  
  length+=distance[tPath[0]][tPath[num-1]];
  
  returnlength;
  
  }

  4.重新定义构造函数Cities(intr)
  
  publicCities(intr)
  
  {...
    
  InitDistance();//计算各个城市间的距离
  
  }

 Ⅱ.该问题的第二次优化:考虑下面的情况,经历顺序为1?2?3?4?5?6?与1?2?3?4?6?5?二者中前四个城市经历顺序相同,可以定义一个变量来保存已经历的路程,只有在经历顺序改变的时候才对已经历的路程进行更新。进行如下优化:
  
  1.增加privatelongtouredLength属性并初始化为0,用来记录到“目前”为止所经历的路程。
  
  2.重新定义goThrough
  
  privatevoidgoThrough(int[]tPath,intcNum,int[]cToured)
  
  {
  
  ...//同上

  elseif(cNum==num)
  
  {
  
  longtL=touredLength+distance[tPath[num-1]][tPath[0]];▲//tL记录已经历的路程
  
  (用▲标志改进点,下同)
  
  if(tL<shortestLength)
  
  {
  
  shortestLength=tL;
  
  for(inti=0;i<num;i++)
  
  shortestPath[i]=tPath[i];
  
  }

  }
  
  else//0<citiesNum<N
  
  {
  
  for(inti=0;i<num;i++)
  
  if(cToured[i]!=1)//NotToured
  
  {
    
  tPath[cNum]=I;
  
  cToured[i]=1;
  
  touredLength+=distance[tPath[cNum-1]][i];▲
  
  cNum++;
  
  goThrough(tPath,cNum,cToured);
  
  cNum--;
  
  touredLength-=distance[tPath[cNum-1]][i];▲
  
  cToured[i]=0;
  
  }
  
  }
  
  }

  3.去除getLength。
  
  Ⅲ.该问题的第二次优化:进一步考虑对路程的计算,设想下面的情况:N=5,已经历了2个城市,且旅行路程为200,目前已知的最短路程为260,而其他三个城市的任意两个城市之间的距离大于30。在这种情况下,再继续遍历只是徒劳,此时就可以结束调用返回。针对这种情况,如下优化:
  
  1.增加属性privatelongshortestDistance[],来保存城市之间的最短距离,次最短距离,次次最短距离,...,并在InitDistance中得到各距离的值。
  
  privatevoidInitDistance()
  
  {
  
  ...
  
  shortestDistance=newlong[num+1];
    
  shortestDistance[0]=0;

  for(inti=0;i<num;i++)

  {

  longdis=10000L;
  
  for(intj=i+1;j<num;j++)
  
  if(distance[i][j]<dis)
  
  dis=distance[i][j];
  
  shortestDistance[i+1]=shortestDistance[i]+dis;
  
  }
  
  }
  
  2.更新goThrough
  
  privatevoidgoThrough(int[]tPath,intcNum,int[]cToured)
  
  {
  
  ...
  
  elseif(cNum==num)
  
  {
  
  longtL=touredLength+distance[tPath[num-1]][tPath[0]];
  
  if(tL<shortestLength)
  
  {

  shortestLength=tL;
  
  for(inti=0;i<num;i++)
  
  shortestPath[i]=tPath[i];
  
  }
  
  }
  
  else//0<citiesNum<num
  
  {
  
  if(touredLength+shortestDistance[num-cNum]<shortestLength)▲
  
  //假如已经历的路程+可能的最短路程>已知的最短路程,则不再继续走下去
  
  {
  
  for(inti=0;i<num;i++)
  
  if(cToured[i]!=1)//NotToured
  
  {
  
  tPath[cNum]=i;
  
  cToured[i]=1;
  
  touredLength+=distance[tPath[cNum-1]][i];

  cNum++;
    
  goThrough(tPath,cNum,cToured);

  cNum--;
  
  touredLength-=distance[tPath[cNum-1]][i];
  
  cToured[i]=0;
  
  }
  
  }
  
  }
  
  }
  
  比较各种优化方法的求解时间,得到下表的数据(Windows98,PIII550,128M):

方案 问题规模 N=10 N=12
仅用citiesToured 1850毫秒 220000毫秒
引入distance改进getLength 390毫秒 48200毫秒
引入touredLength,去除getLength 100毫秒 1000毫秒
引入shortestDistance 不足1毫秒 100毫秒

从以上数据可以得出结论:递归程序一般都有很大的优化空间,递归程序经过优化后,可以在很大程度上提高程序的效率。经过优化的程序既保留了递归程序简单易读的特点,又在一定程度上弥补了程序时间效率低的不足。

同时,也可以看出递归程序的先天缺陷,在现实中大规模的旅行商问题递归程序是无法解决的(在可以接受的时间内),普遍采用的是遗传算法来解决,因此应事先决定是否采用递归程序来解决自己的问题。即使如此,本文对于可以应用的递归程序来讲也具有一定的参考意义。